Směrodatná odchylka kalkulačka
Vypočítejte směrodatnou odchylku, rozptyl a aritmetický průměr pro populaci nebo statistický výběr.
Kalkulačka směrodatné odchylky vypočítá, jak moc se hodnoty v datovém souboru liší od průměru. Nízká směrodatná odchylka znamená, že hodnoty leží blízko průměru. Vysoká směrodatná odchylka znamená větší rozptýlení dat. Například soubor 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 má populační směrodatnou odchylku 2.
Vypočítejte směrodatnou odchylku
Zadejte nejméně jednu číselnou hodnotu a zvolte typ souboru.
Oddělujte mezerou, středníkem nebo novým řádkem. Desetinná čárka je podporována.
Populaci zvolte pro celý soubor. Výběr použijte, pokud data představují jen část větší populace.
Hodnoty se od průměru 10 odchylují typicky přibližně o 4,7434.
| Hodnota x | Odchylka x − průměr | Čtverec odchylky |
|---|
Populační a výběrový vzorec
Volba jmenovatele závisí na tom, zda pracujete s celou populací, nebo pouze s výběrem, který ji má reprezentovat.
Populační směrodatná odchylka
σ = √[Σ(xᵢ − μ)² ÷ n]Použijte ji, když zadaná data tvoří celý sledovaný soubor. Rozptyl se dělí celkovým počtem hodnot.
Výběrová směrodatná odchylka
s = √[Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)]Použijte ji při odhadu variability celé populace z jejího výběru. Korekce n − 1 omezuje systematické podhodnocení.
Jak se směrodatná odchylka počítá
Kalkulačka provede následující kroky a v tabulce ukáže mezivýsledky pro každou hodnotu.
- Sečte všechny hodnoty a vydělí je jejich počtem, čímž získá aritmetický průměr.
- Od každé hodnoty odečte průměr. Vzniklé odchylky mohou být kladné i záporné.
- Každou odchylku umocní na druhou a čtverce sečte.
- Součet vydělí číslem n pro populaci nebo n − 1 pro výběr. Výsledkem je rozptyl.
- Z rozptylu vypočítá druhou odmocninu. Tím vznikne směrodatná odchylka ve stejných jednotkách jako původní data.
Jak výsledek interpretovat
Směrodatná odchylka popisuje rozptýlení, ale její význam vždy závisí na měřítku a povaze dat.
Hodnoty jsou si podobné a leží blízko průměru. Nula znamená, že jsou všechny hodnoty stejné.
Data jsou více rozptýlená. Samotné číslo však posuzujte ve vztahu k průměru a jednotkám měření.
Jeden mimořádně vysoký nebo nízký údaj může průměr i směrodatnou odchylku výrazně ovlivnit.
Příklad výpočtu krok za krokem
Na datech 4, 7, 13 a 16 je vidět celý postup i rozdíl mezi populačním a výběrovým výsledkem.
| Hodnota | x − 10 | (x − 10)² |
|---|---|---|
| 4 | −6 | 36 |
| 7 | −3 | 9 |
| 13 | 3 | 9 |
| 16 | 6 | 36 |
| Součet | 0 | 90 |
Rozptyl: 90 ÷ 4 = 22,5
σ = √22,5 = 4,7434Rozptyl: 90 ÷ (4 − 1) = 30
s = √30 = 5,4772Populace, nebo výběr? Rozhodovací tabulka
Správná volba nezávisí na počtu hodnot, ale na tom, zda data představují celý sledovaný soubor, nebo jen jeho část.
| Situace | Co data představují | Zvolte | Proč |
|---|---|---|---|
| Výsledky všech žáků jedné třídy | Celou sledovanou třídu | Populaci | Nikoho z definovaného souboru nevynecháváte. |
| Průzkum 300 obyvatel města | Část všech obyvatel | Výběr | Výsledkem odhadujete variabilitu celého města. |
| Všechny denní tržby za vybraný měsíc | Celý daný měsíc | Populaci | Popisujete kompletní období, které jste vymezili. |
| Kontrola 40 výrobků z velké série | Vzorek výrobní série | Výběr | Zkontrolované kusy zastupují větší celek. |
Kdy samotná směrodatná odchylka nestačí
Jedno číslo nepopíše tvar rozdělení ani kvalitu dat. Podle cíle analýzy je vhodné doplnit další ukazatel nebo graf.
Odlehlé hodnoty a šikmé rozdělení
Průměr i směrodatná odchylka jsou citlivé na extrémy. U cen, příjmů nebo čekacích dob proto doplňte medián a mezikvartilové rozpětí (IQR).
Soubory s různým měřítkem
Absolutní odchylky nelze dobře porovnat, pokud mají data odlišné průměry nebo jednotky. Pro kladná poměrová data může pomoci variační koeficient: CV = s ÷ průměr × 100 %.
Více skupin nebo vrcholů
Stejný průměr a odchylka mohou skrývat úplně jiné rozdělení. Histogram nebo krabicový graf ukáže shluky, nesymetrii a mezery v datech.
Úplné uvedení výsledku
Spolu s odchylkou uveďte počet hodnot, průměr, jednotku a informaci, zda jde o populaci (σ), nebo výběr (s). Čtenář tak může výsledek správně posoudit.
Příklad relativního porovnání: Soubor A má průměr 10 a odchylku 2, tedy CV 20 %. Soubor B má průměr 100 a odchylku 5, tedy CV 5 %. Přestože má B vyšší absolutní odchylku, vůči svému průměru je stabilnější.
Často kladené otázky
Stručné odpovědi k volbě výpočtu a správnému čtení výsledku.
Jaký je rozdíl mezi populační a výběrovou směrodatnou odchylkou?
Populační výpočet dělí součet čtverců odchylek počtem hodnot n. Výběrový výpočet používá n − 1, protože z výběru odhaduje variabilitu celé populace. Je-li datová sada kompletní statistický soubor, zvolte populační variantu; pokud máte jen vzorek pozorování, použijte výběrovou.
Může být směrodatná odchylka záporná?
Ne. Směrodatná odchylka je odmocnina z nezáporného rozptylu. Každý rozdíl se ve vzorci před sečtením umocní, takže záporné číslo nevznikne.
Co znamená směrodatná odchylka rovná nule?
Nulový výsledek znamená, že všechny zadané hodnoty jsou stejné, žádná se od průměru neodchyluje a data nemají žádné rozptýlení.
V jakých jednotkách se výsledek uvádí?
Směrodatná odchylka má stejné jednotky jako původní data. Rozptyl je vyjádřen v jejich druhé mocnině a v anglické statistice se označuje jako variance.
Kolik hodnot potřebuji?
Pro populační výpočet stačí jedna hodnota, i když výsledek pak bude nula. Výběrová směrodatná odchylka vyžaduje alespoň dvě hodnoty; větší velikost výběru obvykle přináší stabilnější odhad.
Je aritmetický průměr totéž co medián?
Ne. Aritmetický průměr vznikne vydělením celku počtem prvků a bývá označován jako střední hodnota. Medián je prostřední prvek seřazených dat a bývá odolnější vůči extrémům.
Jak zadat hodnoty s různou četností?
Každou hodnotu vložte tolikrát, kolikrát se v souboru vyskytuje. Kalkulačka nemá samostatné pole pro četnost, proto údaj s četností tři zapište třikrát.
Další užitečné kalkulačky
Navazující matematické nástroje pro odmocniny, kvadratické rovnice a řešení lineárních rovnic.