Kalkulačka tangens
Vypočítejte tangens úhlu ve stupních, radiánech nebo gradiánech a získejte také sinus, kosinus a převod úhlu.
Kalkulačka tangens vypočítá tangens zadaného úhlu podle vzorce tg α = sin α ÷ cos α. V pravoúhlém trojúhelníku je tangens ostrého úhlu poměr protilehlé a přilehlé odvěsny. Například tg 45° = 1 a tg 30° ≈ 0,5774. Pro úhly 90° + k · 180° tangens není definován.
Vypočítejte tangens úhlu
Zadejte velikost úhlu a zvolte jednotku. Desetinná čárka je podporována.
Může být kladná i záporná. Například 45, −30 nebo 1,5.
Plný úhel má 360°, 2π rad nebo 400 gon.
Vzorec pro tangens
Kalkulačka tangens vypočítá hodnotu funkce tangens pro zadaný úhel. V pravoúhlém trojúhelníku platí vzorec tan(α) = protilehlá odvěsna ÷ přilehlá odvěsna. Například tan(45°) = 1. Tangens není definován pro úhly 90° + 180° × k, kde k je celé číslo.
tg α = protilehlá odvěsna ÷ přilehlá odvěsna = sin α ÷ cos αPravoúhlý trojúhelník
Tangens ostrého úhlu je poměr délky protilehlé odvěsny k délce přilehlé odvěsny.
Sinus a kosinus
Pro libovolný úhel platí tg α = sin α ÷ cos α, pokud je cos α různý od nuly.
Zápis tg a tan
V češtině se běžně píše tg, na kalkulačkách a v zahraniční literatuře tan. Jde o stejnou funkci.
Odborný zdroj: Wolfram MathWorld – Tangent
Jak výpočet probíhá
- Úhel zadaný ve stupních nebo gradiánech se převede na radiány: rad = stupně · π ÷ 180.
- Vypočítá se sinus a kosinus úhlu.
- Zkontroluje se, zda kosinus není roven nule. V takovém případě tangens neexistuje.
- Sinus se vydělí kosinem. Výsledkem je tangens úhlu.
Hodnoty tangens pro základní úhly
Tyto hodnoty se v matematice a fyzice vyskytují nejčastěji. Hodnoty u úhlů nad 90° vycházejí z periodicity a znaménka v kvadrantech.
| Úhel (°) | Úhel (rad) | Přesná hodnota tg | Přibližně |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0 |
| 30° | π ÷ 6 | √3 ÷ 3 | 0,5774 |
| 45° | π ÷ 4 | 1 | 1 |
| 60° | π ÷ 3 | √3 | 1,7321 |
| 90° | π ÷ 2 | není definován | – |
| 120° | 2π ÷ 3 | −√3 | −1,7321 |
| 135° | 3π ÷ 4 | −1 | −1 |
| 150° | 5π ÷ 6 | −√3 ÷ 3 | −0,5774 |
| 180° | π | 0 | 0 |
Znaménko tangens podle kvadrantu
Znaménko tangensu závisí na tom, ve kterém kvadrantu úhel leží. Tangens je kladný, když mají sinus a kosinus stejné znaménko.
| Kvadrant | Rozsah úhlu | Sinus | Kosinus | Tangens |
|---|---|---|---|---|
| I. | 0° až 90° | + | + | + |
| II. | 90° až 180° | + | − | − |
| III. | 180° až 270° | − | − | + |
| IV. | 270° až 360° | − | + | − |
Příklad výpočtu krok za krokem
V pravoúhlém trojúhelníku má protilehlá odvěsna délku 3 a přilehlá odvěsna délku 4. Určíme tangens úhlu α i samotný úhel.
1. Dosazení do vzorce: tg α = 3 ÷ 4
2. Tangens: tg α = 0,75
3. Úhel pomocí arkus tangens: α = arctg 0,75 ≈ 36,87°
Kontrola: tg 36,87° ≈ 0,75, což odpovídá poměru stran 3 : 4.
Kde se tangens používá
Tangens spojuje úhel s poměrem dvou délek, a proto se hodí všude, kde se z úhlu počítá výška, vzdálenost nebo sklon.
Výška a vzdálenost
Ze vzdálenosti 20 m od paty stromu a úhlu 30° vychází výška stromu v = 20 · tg 30° ≈ 11,55 m.
Sklon a stoupání
Sklon v procentech je tg α · 100. Úhel 45° odpovídá sklonu 100 %, úhel 10° přibližně 17,6 %.
Směrnice přímky
Směrnice přímky v rovině je k = tg α, kde α je úhel mezi přímkou a kladnou osou x.
Stupně, radiány a gradiány
Kalkulačka počítá se všemi třemi jednotkami. Pro převod platí rad = stupně · π ÷ 180 a gon = stupně · 10 ÷ 9.
| Jednotka | Pravý úhel | Přímý úhel | Plný úhel |
|---|---|---|---|
| Stupně (°) | 90° | 180° | 360° |
| Radiány (rad) | π ÷ 2 ≈ 1,5708 | π ≈ 3,1416 | 2π ≈ 6,2832 |
| Gradiány (gon) | 100 gon | 200 gon | 400 gon |
Časté chyby při výpočtu tangens
Většina nesprávných výsledků vzniká z několika opakujících se příčin.
Špatná jednotka
Číslo 45 ve stupních dává tg = 1, ale 45 v radiánech dává tg ≈ 1,6198. Před výpočtem vždy zkontrolujte jednotku.
Úhel 90°
Pro 90°, 270° a další hodnoty 90° + k · 180° je kosinus nulový. Tangens v těchto bodech neexistuje.
Záměna s arkus tangens
Arkus tangens (arctg, tg⁻¹) je inverzní funkce, která z hodnoty tangensu určuje úhel. Není to převrácená hodnota 1 ÷ tg.
Odborný zdroj: Wikipedia – Trigonometric functions
Další užitečné kalkulačky
Šest souvisejících nástrojů pro matematické výpočty.
Často kladené otázky
Stručné odpovědi k tangensu, jeho vzorci a správnému čtení výsledku.
Co je tangens úhlu?
Tangens je trigonometrická funkce, jedna ze základních funkcí trigonometrie a školní matematiky. V pravoúhlém trojúhelníku vyjadřuje poměr protilehlé odvěsny k přilehlé odvěsně ostrého úhlu. Obecně platí vzorec tg α = sin α ÷ cos α, tedy podíl sinu a kosinu stejného úhlu.
Jak vypočítat tangens úhlu pomocí kalkulačky?
Zadejte hodnotu úhlu a zvolte jednotku, tedy stupně, radiány nebo gradiány. Kalkulačka úhel převede na radiány, vypočítá sinus a kosinus a jejich podílem získá výsledek. Stejným postupem můžete tangens spočítat ručně nebo na vědecké kalkulačce.
Proč není tangens 90° definován?
Pro argument 90° je kosinus roven nule, a protože tangens je podíl sinu a kosinu, vedlo by to k dělení nulou. Totéž platí pro 270° a obecně pro 90° + k · 180°. Na grafu funkce tangens jsou v těchto bodech svislé asymptoty, ke kterým se hodnota funkce neomezeně blíží.
Jaký je rozdíl mezi tg a tan?
Žádný. Zápis tg je běžný v českých a slovenských učebnicích, tan se používá na kalkulačkách, v programovacích jazycích a v zahraniční literatuře. Oba zápisy označují stejnou funkci a dávají stejný výsledek.
Jaká je hodnota tangensu 45°?
Platí tan 45° = 1. V pravoúhlém rovnoramenném trojúhelníku jsou obě odvěsny stejně dlouhé, takže poměr protilehlé a přilehlé odvěsny je roven jedné. Tuto hodnotu je dobré znát zpaměti spolu s tan 30° ≈ 0,5774 a tan 60° ≈ 1,7321.
Může být tangens záporný?
Ano. Tangens je záporný ve druhém a čtvrtém kvadrantu, tedy pro úhly mezi 90° a 180° nebo pro záporné úhly mezi 0° a −90°. Například tg 135° = −1 a tg (−45°) = −1. Znaménko výsledku vychází ze znamének sinu a kosinu.
Jak souvisí tangens s jednotkovou kružnicí?
Na jednotkové kružnici odpovídá kosinus úhlu x-ové souřadnici bodu a sinus y-ové souřadnici. Tangens je jejich poměr y ÷ x. Geometricky ho lze znázornit jako délku úsečky na tečně ke kružnici v bodě (1; 0). Tento pohled vysvětluje, proč je funkce definovaná i pro úhly větší než 90°.
Jaký je obor hodnot tangensu a jeho perioda?
Funkce tangens nabývá všech reálných hodnot, od záporného po kladné nekonečno. Perioda funkce je 180°, tedy π radiánů, takže platí tg (α + 180°) = tg α. Graf se proto po každých 180° opakuje a mezi asymptotami roste zleva doprava.
Jak z hodnoty tangensu zjistit úhel?
Použijte inverzní funkci arkustangens, na kalkulačkách označenou arctan, atan nebo tg⁻¹. Jejím výsledkem je úhel v intervalu od −90° do 90°. Například arctan 1 = 45° a arctan 0,75 ≈ 36,87°. Nejde o převrácenou hodnotu 1 ÷ tg, ale o samostatnou funkci.
Jak převést stupně na radiány?
Vynásobte úhel ve stupních číslem π a vydělte 180. Například 60° · π ÷ 180 = π ÷ 3 ≈ 1,0472 rad. Opačný převod z radiánů na stupně je rad · 180 ÷ π. Před výpočtem tangensu vždy zkontrolujte, v jaké jednotce je argument zadaný.
Jak spočítat sklon svahu v procentech z úhlu?
Sklon v procentech je tg α · 100. Úhel 5° odpovídá sklonu přibližně 8,75 %, úhel 45° sklonu 100 %. Zpětně lze úhel získat jako arctan (sklon ÷ 100).